> ## Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://private-7c7dfe99-mintlify-3a82795f.mintlify.site/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# primes

> Возвращает таблицу с единственным столбцом `prime`, содержащим простые числа.

* `primes()` – Возвращает бесконечную таблицу с единственным столбцом `prime` (UInt64), содержащим простые числа в порядке возрастания, начиная с 2. Используйте `LIMIT` (и при необходимости `OFFSET`), чтобы ограничить число строк.

* `primes(N)` – Возвращает таблицу с единственным столбцом `prime` (UInt64), содержащим первые `N` простых чисел, начиная с 2.

* `primes(N, M)` – Возвращает таблицу с единственным столбцом `prime` (UInt64), содержащим `M` простых чисел, начиная с `N`-го простого числа (индексация с 0).

* `primes(N, M, S)` – Возвращает таблицу с единственным столбцом `prime` (UInt64), содержащим `M` простых чисел, начиная с `N`-го простого числа (индексация с 0), с шагом `S` по индексу простого числа. Возвращаемые простые числа соответствуют индексам `N, N + S, N + 2S, ..., N + (M - 1)S`. `S` должно быть `>= 1`.

Это аналогично системной таблице [`system.primes`](/ru/reference/system-tables/primes).

Следующие запросы эквивалентны:

```sql theme={null}
SELECT * FROM primes(10);
SELECT * FROM primes(0, 10);
SELECT * FROM primes() LIMIT 10;
SELECT * FROM system.primes LIMIT 10;
SELECT * FROM system.primes WHERE prime IN (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29);
```

Следующие запросы также эквивалентны:

```sql theme={null}
SELECT * FROM primes(10, 10);
SELECT * FROM primes() LIMIT 10 OFFSET 10;
SELECT * FROM system.primes LIMIT 10 OFFSET 10;
```

<div id="examples">
  ### Примеры
</div>

Первые 10 простых чисел.

```sql theme={null}
SELECT * FROM primes(10);
```

```response theme={null}
  ┌─prime─┐
  │     2 │
  │     3 │
  │     5 │
  │     7 │
  │    11 │
  │    13 │
  │    17 │
  │    19 │
  │    23 │
  │    29 │
  └───────┘
```

Первое простое число больше 1e15.

```sql theme={null}
SELECT prime FROM primes() WHERE prime > 1e15 LIMIT 1;
```

```response theme={null}
  ┌────────────prime─┐
  │ 1000000000000037 │ -- 1.00 quadrillion
  └──────────────────┘
```

Решите ограничение по модулю для простых чисел в очень большом диапазоне: найдите первое простое число `p >= 10^15`, для которого `p` по модулю `65537` равно `1`.

```sql theme={null}
SELECT prime
FROM primes()
WHERE prime >= 1e15
  AND prime % 65537 = 1
LIMIT 1;
```

```response theme={null}
 ┌────────────prime─┐
 │ 1000000001218399 │ -- 1.00 quadrillion
 └──────────────────┘
```

Первые 7 чисел Мерсенна, являющихся простыми.

```sql theme={null}
SELECT prime
FROM primes()
WHERE bitAnd(prime, prime + 1) = 0
LIMIT 7;
```

```response theme={null}
  ┌──prime─┐
  │      3 │
  │      7 │
  │     31 │
  │    127 │
  │   8191 │
  │ 131071 │
  │ 524287 │
  └────────┘
```

<div id="notes">
  ### Примечания
</div>

* Самые быстрые варианты — обычные запросы по диапазону и запросы с точечным фильтром, использующие шаг по умолчанию (`1`), например `primes(N)` или `primes() LIMIT N`. В них используется оптимизированный генератор простых чисел, который позволяет эффективно вычислять очень большие простые числа.
* Для неограниченных источников (`primes()` / `system.primes`) простые фильтры по значению, такие как `prime BETWEEN ...`, `prime IN (...)` или `prime = ...`, можно применять прямо в процессе генерации, чтобы сузить диапазоны поиска. Например, следующий запрос выполняется почти мгновенно:

```sql theme={null}
SELECT sum(prime)
FROM primes()
WHERE prime BETWEEN 1e6 AND 1e6 + 100
   OR prime BETWEEN 1e12 AND 1e12 + 100
   OR prime BETWEEN 1e15 AND 1e15 + 100
   OR prime IN (9999999967, 9999999971, 9999999973)
   OR prime = 1000000000000037;
```

```response theme={null}
  ┌───────sum(prime)─┐
  │ 2004010006000641 │ -- 2.00 квадриллиона
  └──────────────────┘

1 row in set. Elapsed: 0.090 sec. 
```

* Эта оптимизация диапазона значений не применяется к ограниченным табличным функциям (`primes(N)`, `primes(offset, count[, step])`) с `WHERE`, поскольку эти варианты задают конечную таблицу по индексу простых чисел, и для сохранения семантики фильтр должен вычисляться после генерации этой таблицы.
* Использование ненулевого смещения и/или шага больше 1 (`primes(offset, count)` / `primes(offset, count, step)`) может работать медленнее, поскольку внутри может потребоваться сгенерировать и пропустить дополнительные простые числа. Если смещение или шаг вам не нужны, опустите их.